Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Estou resolvendo problemas de Variáveis Aleatórias (Densidade de Probabilidade Conjunta) e tenho as integrais para resolver:
1)

\(\int_{1}^{y}\int_{x}^{2}axdxdy=1\)
Calcular a constante (a):

2) Tendo a constante (a) determinar a função....

\(fy(y)=\int_{x}^{2} axdx\)

Obrigado.

Acho que tem erros no enunciado, pois tem integrais de uma variável x cujos limites dependem de x também...

_________________
José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Oi, vou colocar do início:

1 – As variáveis aleatórias x e y possuem a seguinte densidade de probabilidade conjunta

\(p_{x,y}(X,Y)=\left\{\begin{matrix}
aX,&se &1\leq X\leq y\leq 2 \\
0,& caso&contrario
\end{matrix}\right\)

(a) Calcule a constante a.

e o enunciado da 2 é:

(b) Determine a função densidade de probabilidade marginal py(Y).

Obrigdo.

As condições que apresenta são

\(1\leq X \leq Y \leq 2\)

podem ser estruturadas em

\(1\leq X \leq 2 \ \wedge \ 1\leq y \leq 2 \ \wedge \ X\leq Y\)

Assim, trata-se do quadrado com os vértices da diagonal em (1,1) e (2,2)

A condição é então

\(\int_{1}^{2}\int_{1}^{x}ax dydx=1\)

_________________
João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Ok João, mt obrigado.

a=6/5

b=18/10

att

Prezado João Souza,

Você confirma o resultado da constante como sendo 6/5?

\(\int_{1}^{2}\int_{1}^{x}aXdydx=1\)

\(\int_{1}^{2}aXY\mid \begin{matrix}x
\\1 \end{matrix}dx=1\)

\(\int_{1}^{2}aX^{2}-aXdx=1\)

\(\int_{1}^{2}a(X^{2}-X)dx=1\)

\(a\left [ X^{3}/3 - X^{2}/2 \right ]|\begin{matrix}
2\\ 1\end{matrix}=1\)

a=6/5

A integral de Y não teria que variar de x a 2?
Assim o valor da constante a seria 3/2

Obrigado

\(\int_{1}^{2}\int_{1}^{x}ax dydx=\int_{1}^{2}ax\int_{1}^{x}1 dydx=\int_{1}^{2}ax \left[y\right ]_1^x dx=\\ a\int_{1}^{2}x (x-1) dx=a\int_{1}^{2}(x^2-x) dx=a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} \right ]_1^2=\\ a\left(\frac{2^3}{3}-\frac{2^2}{2}\right)-a\left(\frac{1^3}{3}-\frac{1^2}{2}\right)=a\left(\frac{8}{3}-\frac{4}{2}\right)-a\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)=\\ a\left(\frac{4}{6}+\frac{1}{6} \right )=a\frac{5}{6}=1\)

como \(a\frac{5}{6}=1\)

então \(a=\frac{6}{5}\)

_________________
João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}