Volumes, momentos de inércia, centro de massa de objectos tridimensionais, integrais com mais de uma variável
03 mai 2015, 03:09
Calcule a integral iterada:
\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}v(u-v^2)^4\,du\,dv\)
Existe uma forma de resolver essa integral sem ter que "abri-la"?
Até consegui chegar no resultado correto mas deu muita conta.
Agradeço
03 mai 2015, 19:06
Realmente não é necessário desenvolver a expressão. Se começar por integrar em ordem a v tudo fica mais fácil... E pode escolher livremente a ordem de integração pois os limites de integração são constantes.
\(\int_0^1 \int_0^1 v(u-v^2)^4 du dv = \int_0^1 \left[\frac{(u-v^2)^5}{-10}\right]_{v=0}^{v=1} du = -\frac{1}{10} \int_0^1 ((u-1)^5 - u^5) du = -\frac{1}{10} \left[\frac{(u-1)^6}{6} - \frac{u^6}{6}\right]_0^1 = -\frac{1}{10} ( -\frac 16-\frac 16) = \frac{1}{30}\)
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