Integral Mostrando regiao D

[ivoski]

Mostre que \(\int \int {}_D f(x,y)dy dx = (ln2)\int ^2_1 f(u)du\)
Onde D é a regiao do primeiro quadrante, limitada pelas curvas xy = 1, xy = 2, x = y e y = 4x

[João P. Ferreira]

Boas

A área a que se refere é a que vai em anexo

Ora então podemos usar coordenandas polares

\(x=r.cos(\theta)
y=r.sin(\theta)\)

Sabemos que quando temos coordenadas polares os integrais de superfície ficam

\(\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_a^b \int_0^{r(\theta)} f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta\)

\(y=x\) corresponde a um ângulo \(\theta\) de \(\pi/4\)

\(y=4x\) corresponde a um ângulo de \(arctg\left(\frac{4}{1}\right)=arctg(4)\)

A curva \(xy=1\) corresponde a:

\(r.cos(\theta).r.sen(\theta)=1\)

\(r^2=\frac{2}{2.sen(\theta)cos(\theta)}\)

\(r=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{sen(2\theta)}}\)


A curva \(xy=2\) corresponde a:

\(r.cos(\theta).r.sen(\theta)=2\)

\(r^2=\frac{4}{2.sen(\theta)cos(\theta)}\)

\(r=\frac{2}{\sqrt{sen(2\theta)}}\)

Continuando

\(\iint_D f(x,y) \, dxdy = \\ \\= \int_{\pi/4}^{arctg 4} \ \int_{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{sen(2\theta)}}}^{\frac{2}{\sqrt{sen(2\theta)}}} f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta\)

Não sei se é este o caminho, provavelmente não, mas confesso que não estou a ver...

Anexos

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[ivoski]

Olá Joao, obrigado pela ajuda... mas tambem nao consigo fechar esta questao...
to quebrando a cabeça aqu...
será que consigo???

[josesousa]

Mostre que \(\int \int {}_D f(x,y)dy dx = (ln2)\int ^2_1 f(u)du\)
Onde D é a regiao do primeiro quadrante, limitada pelas curvas xy = 1, xy = 2, x = y e y = 4x

O melhor mesmo é passar de (x,y) para (x,u), com u=xy.
Assim u varia de 1 a 2, como queremos na resolução.

[ivoski]

Ainda nao consegui fazer, so falta essa pra terminar e nao consigo, alguem pode me ajudar?
abraços