Área de Triângulo com Integral DUpla

[titomattos]

Boa tarde, estou com uma dúvida acerca de este problema:
Calcule a ∫ ∫ 2x-3y²dxdy sobre a região R interior ao triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (-1,-1)
Alguém poderia resolvê-lo passo a passo?
Grato.

[Sobolev]

Em primeiro lugar deve escrever analiticamente a região de integração

\(R = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: -1 \leq y \leq 0, y \leq x \leq 3y +2\}\)

Deste modo,

\(\int_R 2x -3y^2 \,dx\,dy = \int_{-1}^0 \left(\int_{y}^{3y+2} 2x-3y^2\, dx\right) \, dy = \int_{-1}^0 \left[ x^2-3y^2 x\right]_{x=y}^{x=3y+2} \, dy = \int_{-1}^0 (3y+2)^2-3y^2(3y+2)-y^2+3y^3\, dy = \frac 16\)

[titomattos]

Opa, brigadão, estava realmente precisando \õ/!

[titomattos]

Poderia me explicar porquê temos y≤ x≤ 3y+2 e não o contrário? Consegui chegar nos valores, mas não compreendi essa parte. Sempre procurei ver essa informação na distância da restrição(função) da origem, subtraindo a mais perto da mais longe.. Mas como nesse caso a figura corta o eixo y, fiquei meio perdido.
Grato.

[Sobolev]

Se desenhar o triangulo fica fácil se perceber. Para fixar os limites de integração devemos primeiro considerar os que são constantes ( no caso, y está entre -1 e 0), para depois indicar a variação da outra variável. Ora, para cada y em [-1 , 0], x vai estar compreendido entra a recta à esquerda (x = y) que corresponde ao menor cvalor de x para cada y, e a recta à direita (x = 3y + 2) que corresponde ao maior valor de x. Repare que como começámos por definir limites constantes para y, as rectas devem expressar x como função de y e não o contrário.