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Área e comprimento da curva paramétrica https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=12911 |
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Autor: | anabragacarolina [ 30 jun 2017, 23:01 ] |
Título da Pergunta: | Área e comprimento da curva paramétrica |
Considere a curva C: x(t) = 3(t²-3); y(t) = t(t²-3), t pertence a [-√3, √3] a) Equação da reta no ponto (-8, 8√3/9) b) área da região c) comprimento da curva |
Autor: | danko71 [ 26 ago 2017, 19:22 ] |
Título da Pergunta: | Re: Área e comprimento da curva paramétrica |
Anexo: a) Equação da reta que passa por \((-8,\frac{8\sqrt3}{9})\ e\ (0,0)\\ y-y_0=m(x-x_0),\ m=\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{8\sqrt3/9}{-8}=-\frac{\sqrt3}{9}\\ y-0=-\frac{\sqrt3}{9}(x-0)==>y=-\frac{\sqrt3}{9}\\\) b)Área da região limitada pela curva e pelo eixo OX: \(y=t^3-3t;\ x=3t^2-9\ e\ dx=6tdt\\ A=\int_{a}^{a}ydx=2\int_{0}^{\sqrt3}(t^3-3t)6tdt=2\int_{0}^{\sqrt3}6(t^4-3t^2)dt=12\left [ \frac{t^5}{5}-t^3 \right ]_0^{\sqrt3}= 12\left [ \frac{t^5-5t^3}{5} \right ]_0^{\sqrt3}=\frac{12}{5}\left [ -6\sqrt3 \right ]=\frac{72}{5}\sqrt3\\\) c) Comprimento da curva: \(C=\int_{ta}^{tb}\left [ (\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2 \right ]^{1/2}dt\\ (\frac{dx}{dt})^2=(6t)^2=36t^2\ e\ (\frac{dy}{dt})^2=(3t^2-3)^2=9t^4-18t^2+9\\ C=2\int_{0}^{\sqrt3}(9t^4+18t^2+9)dt=2\int_{0}^{\sqrt3}\left [ (3t^2+3)^2 \right ]^{1/2}dt=\int_{0}^{\sqrt3}(3t^2+3)dt=2\left [ t^3+3t \right ]_0^{\sqrt3}=2\left [ (\sqrt3)^3+3\sqrt3 \right ]=12\sqrt3\) |
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