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| Integral dupla e teorema de Green https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=12639 |
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| Autor: | rafaamcarvalho [ 25 abr 2017, 18:37 ] |
| Título da Pergunta: | Integral dupla e teorema de Green |
Olá, estou com dificuldades nessa questão, achei que era uma aplicação do Teorema de Green e que a resposta seria a área do disco, mas a resposta é letra E. alguém pode me explicar? Anexo: captur16.png [ 21.79 KiB | Visualizado 2635 vezes ] Considere g: R → R duas vezes derivável e o campo vetorial F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)),em que P(x,y) = x g(x,y), Q(x,y) = y g(x,y). Se Dr é o disco de centro na origem e raio r>0, então dxdy é igual a (A) pi*r^2 (B) 2pi*r (C) r (D) 1 (E) 0 |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 26 abr 2017, 16:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla e teorema de Green |
Pelo teorema de Green: \(\int\int_{D_r}\left( Q_x(x,y)-P_y(x,y) \right)dxdy=\oint_{\partial D_r}\left( P(x,y)dx + Q(x,y)dy \right)=\int_0^{2\pi}F(r\cos t,r\sin t)\cdot (-r\sin t,r\cos t)dt = \int_0^{2\pi}g(r\cos t,r\sin t)\left[(r\cos t,r\sin t)\cdot (-r\sin t,r\cos t)\right] dt =\int_0^{2\pi}g(r\cos t,r\sin t)\times 0 dt =0\) PS - Sem fazer contas também se podia ver que o campo vetorial F é perpendicular à fronteira do disco, logo o integral iria ser nulo. PPS - Editado para corrigir o erro apontado pelo Sobolev (faltava o r à frente do cos t e sin t). |
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| Autor: | rafaamcarvalho [ 26 abr 2017, 22:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla e teorema de Green |
Rui Carpentier Escreveu: Pelo teorema de Green: \(\int\int_{D_r}\left( Q_x(x,y)-P_y(x,y) \right)dxdy=\oint_{\partial D_r}\left( P(x,y)dx + Q(x,y)dy \right)=\int_0^{2\pi}F(\cos t,\sin t)\cdot (-\sin t,\cos t)dt = \int_0^{2\pi}g(\cos t,\sin t)\left[(\cos t,\sin t)\cdot (-\sin t,\cos t)\right] dt =\int_0^{2\pi}g(\cos t,\sin t)\times 0 dt =0\) PS - Sem fazer contas também se podia ver que o campo vetorial F é perpendicular à fronteira do disco, logo o integral iria ser nulo. Muito Obrigado pela resposta Rui! mas fiquei na duvida pq vc definiu P(x) = cos(t) e Q(x) = sin(t). Como eu saberia que F(x,y) é perpendicular a fronteira dos discos se eu não sei os valores de P(x) e Q(x)? |
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| Autor: | Sobolev [ 27 abr 2017, 10:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla e teorema de Green |
Na resolução o Rui considerou a circunferência de raio 1, que é parametrizada por \((\cos t, \sin t), t \in [0, 2 \pi[\). No cálculo do integral de linha tomou-se portanto \(x = \cos t\) e \(y= \sin t\). Em rigor deveria considerar \(x = r \cos t, \quad y = r \sin t\), mas todos os passos e ideias importantes não dependem disso. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 27 abr 2017, 20:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla e teorema de Green [resolvida] |
rafaamcarvalho Escreveu: Como eu saberia que F(x,y) é perpendicular a fronteira dos discos se eu não sei os valores de P(x) e Q(x)? F(x,y)=(xg(x,y),yg(x,y))=g(x,y)(x,y) portanto o campo vetorial F é no ponto (x,y) um produto escalar do vetor (x,y). Sendo o disco centrado na origem, para cada ponto fronteiro (x,y), o vetor (x,y) é perpendicular à fronteira do disco (logo o campo vetorial F também o é). |
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