Integral dupla e teorema de Green

[rafaamcarvalho]

Olá, estou com dificuldades nessa questão, achei que era uma aplicação do Teorema de Green e que a resposta seria a área do disco, mas a resposta é letra E. alguém pode me explicar?

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Considere g: R → R duas vezes derivável e o campo vetorial F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)),em que P(x,y) = x g(x,y), Q(x,y) = y g(x,y). Se Dr é o disco de centro na origem e raio r>0, então dxdy é igual a

(A) pi*r^2
(B) 2pi*r
(C) r
(D) 1
(E) 0

[Rui Carpentier]

Pelo teorema de Green: \(\int\int_{D_r}\left( Q_x(x,y)-P_y(x,y) \right)dxdy=\oint_{\partial D_r}\left( P(x,y)dx + Q(x,y)dy \right)=\int_0^{2\pi}F(r\cos t,r\sin t)\cdot (-r\sin t,r\cos t)dt = \int_0^{2\pi}g(r\cos t,r\sin t)\left[(r\cos t,r\sin t)\cdot (-r\sin t,r\cos t)\right] dt =\int_0^{2\pi}g(r\cos t,r\sin t)\times 0 dt =0\)

PS - Sem fazer contas também se podia ver que o campo vetorial F é perpendicular à fronteira do disco, logo o integral iria ser nulo.

PPS - Editado para corrigir o erro apontado pelo Sobolev (faltava o r à frente do cos t e sin t).

[rafaamcarvalho]

Pelo teorema de Green: \(\int\int_{D_r}\left( Q_x(x,y)-P_y(x,y) \right)dxdy=\oint_{\partial D_r}\left( P(x,y)dx + Q(x,y)dy \right)=\int_0^{2\pi}F(\cos t,\sin t)\cdot (-\sin t,\cos t)dt = \int_0^{2\pi}g(\cos t,\sin t)\left[(\cos t,\sin t)\cdot (-\sin t,\cos t)\right] dt =\int_0^{2\pi}g(\cos t,\sin t)\times 0 dt =0\)

PS - Sem fazer contas também se podia ver que o campo vetorial F é perpendicular à fronteira do disco, logo o integral iria ser nulo.

Muito Obrigado pela resposta Rui! mas fiquei na duvida pq vc definiu P(x) = cos(t) e Q(x) = sin(t). Como eu saberia que F(x,y) é perpendicular a fronteira dos discos se eu não sei os valores de P(x) e Q(x)?

[Sobolev]

Na resolução o Rui considerou a circunferência de raio 1, que é parametrizada por \((\cos t, \sin t), t \in [0, 2 \pi[\). No cálculo do integral de linha tomou-se portanto \(x = \cos t\) e \(y= \sin t\). Em rigor deveria considerar \(x = r \cos t, \quad y = r \sin t\), mas todos os passos e ideias importantes não dependem disso.

[Rui Carpentier]

Como eu saberia que F(x,y) é perpendicular a fronteira dos discos se eu não sei os valores de P(x) e Q(x)?

F(x,y)=(xg(x,y),yg(x,y))=g(x,y)(x,y) portanto o campo vetorial F é no ponto (x,y) um produto escalar do vetor (x,y). Sendo o disco centrado na origem, para cada ponto fronteiro (x,y), o vetor (x,y) é perpendicular à fronteira do disco (logo o campo vetorial F também o é).