Achar o volume gerado pela revolução, em tôrno de OX, da área limitada...

[danko71]

Achar o volume gerado pela revolução, em tôrno de OX, da área limitada pelo seguinte lugar geométrico:
335/16.
\(y^2(2a-x)=x^3,\ y=0,\ x=a\)

Eu fiz:
\(V=\pi\int_{0}^{a}(\frac{x^3}{2a-x})dx=\pi\int_{0}^{a}x^3(2a-x)^{-1}dx\)

E tenho, agora, um integral por partes
\((A)\ \int udv=u.v-\int vdu\\u=x^3=>du=3x^2\\dv=(2a-x)^{-1}=>v=-log(2a-x)\\Substituindo\ em\ (A),\\\int x^3(2a-x)^{-1}dx=-x^3log(2a-x)+\int log(2a-x)3x^2dx\ (1)\)

Agora eu faço:
\(u=log(2a-x)=>du=\frac{-1}{2a-x}\\dv=3x^2=>v=x^3\\u.v-\int vdu=x^3log(2a-x)+\int x^3(2a-x)^{-1}\)

Que, substituindo em (1), resulta:
\(\int x^3(2a-x)^{-1}dx=-x^3log(2a-x)+x^3log(2a-x)+\int x^3(2a-x)^{-1}=0\)

E eu não consigo encontrar o êrro. Por gentileza, dê uma força.
\(Resposta\ [0,2115\pi a^3]\)

[pedrodaniel10]

Para integração de funções racionais com numerador superior, este não é o melhor método. A primeira coisa a fazer é diminuir o grau do numerador fazendo a divisão.

\(\frac{x^3}{2a-x}=-\frac{8a^3}{x-2a}-4a^2-2ax-x^2
\pi\int_{0}^{a}\frac{x^3}{2a-x}dx=-\pi\int_{0}^{a}\frac{8a^3}{x-2a}+4a^2+2ax+x^2dx\)

Consegue continuar ?

[danko71]

Sim, Pedro. Dei continuidade ao que você escreveu e cheguei à resposta do livro. Muito obrigado.