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| Área de um arco de uma ciclóide e o eixo x. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=12263 |
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| Autor: | danko71 [ 23 jan 2017, 20:51 ] |
| Título da Pergunta: | Área de um arco de uma ciclóide e o eixo x. |
302/41. Achar a área limitada por um arco da ciclóide \(x=a(\phi-sen\phi),\ y=a(1-cos\phi)\) e o eixo X. Resolução: \(dx=-a.cos\phi.d\phi\\y=0=>cos\phi=1=>\phi=2\pi\\A=\int_{0}^{2\pi}ydx=\int_{0}^{2\pi}a(1-cos\phi)(-a.cos\phi)d\phi=\\=-a^2\left [ \int_{0}^{2\pi}cos\phi.d\phi-\int_{0}^{2\pi}cos^2\phi.d\phi\right ]=\\ -a^2[sen\phi-(\frac{1}{2}\phi+\frac{1}{4}sen2\phi)]_0^2\\= =-a^2[0-\pi-0]=\pi.a^2\) E não bate com a resposta do livro que é: \(3.\pi.a^2\) Por gentileza, mostre-me onde é que estou errando. |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 24 jan 2017, 05:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Área de um arco de uma ciclóide e o eixo x. [resolvida] |
O integral não está correto. A área de regiões de curvas fechadas é dado que: \(\int_{t_1}^{t_2}|f(t)|dt=\int_{t_1}^{t_2}|y(t)\cdot x'(t)|dt\) Neste caso: \(f(t)=(x(t),y(t))=(a(t-\sin(t)),a(1-\cos(t)))\) \(A=\int_{0}^{2\pi }a^2(1-\cos(t))(1-\cos(t))dt=a^2\int_{0}^{2\pi }1-2\cos(t)+\cos^2(t)dt=a^2\left [ t-2\sin(t)+\frac{1}{2} t+\frac{1}{4}\sin(2t)\right ]_{0}^{2\pi }=a^2(2\pi+\pi)=a^23\pi\) |
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| Autor: | danko71 [ 24 jan 2017, 15:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Área de um arco de uma ciclóide e o eixo x. |
Obrigado, Pedro. Olhando para o seu desenvolvimento eu percebi que errei logo na primeira linha, quando fiz dx=-a.cos(fi), sendo o correto dx=a(1-cos(fi)). Refiz o exercício e cheguei ao resultado correto. |
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