´Calculo de área usando integral

[danko71]

Achar a área compreendida pelo laço da curva cuja equação é
\(4y^2=x^2(4-x)\\Resolvendo:\\y=\frac{x}{2}(4-x)^1^/2\ e\ Area=\frac{1}{2}\int_{0}^{4}x(4-x)^1^/2\)
Mas não consigo sair daqui pois não tenho como neutralizar o "x" que está entre o sinal de integral e a raiz. Por gentileza, resolva passo a passo para eu entender o raciocíio. A resposta é: 128/15

[Sobolev]

Na verdade, ao usar essa fórmula só está a calcular metada da área...
\(Area = \int_0^4 \int_{-\frac{x}{2} \sqrt{4-x}}^{-\frac{x}{2} \sqrt{4-x}}\quad 1 dx = \int_0^4 x \sqrt{4-x}dx\)

Ora, este integral pode ser calculado por partes

\(\int_0^4 x \sqrt{4-x}dx = \left[- x \frac{(4-x)^{3/2}}{3/2}\right]_0^4 +\int_0^4 1 \cdot\frac{(4-x)^{3/2}}{3/2} dx = 0+\frac 23 \left[-\frac{(4-x)^{5/2}}{5/2}\right]_0^4 = \frac 23 \times \frac 25 \times 4^{5/2} = \frac{128}{15}\)