Cálculo de área usando integrais

[danko71]

302/39. Achar a área limitada pela hipérbole \(x^2-y^2=a^2\ e\ pela\ reta\ x=2a.\)

Resposta: \(a^2[2\sqrt3-ln(2+\sqrt3)]\)

[pedrodaniel10]

O integral fica:
\(\int_{a}^{2a}\int_{-\sqrt{x^2-a^2}}^{\sqrt{x^2-a^2}}1\, dy\, dx=2\int_{a}^{2a}\sqrt{x^2-a^2}\, dx\)

Para valores positivos de a. Pode fazer a substituição:
\(x=a\cdot \sec(u),\: dx=a\cdot \tan(u)\cdot \sec(u)\, du\)

E assim chegará ao resultado.
Com o resultado pode ver que é válida para todo R.