integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares
10 nov 2016, 01:52
Modifique a integral da forma cartesiana para a equivalente polar e resolva.
\(\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}x^2+y^2 dxdy\)
o gabarito é pi/8 o meu resultado deu pi/4
\(\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}x^2+y^2 dxdy\)
o gabarito é pi/8 o meu resultado deu pi/4
- Anexos
-
- foto da minha resolução
Re: integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares
10 nov 2016, 02:05
Eu acredito que estava errando no limite de y, fiz agora e deu o gabarito
Re: integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares
10 nov 2016, 09:23
A região de integração, dada em coordenadas cartesianas por
\(R = \{(x,y): -1 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq \sqrt{1-y^2} \}\)
é expressa em coordenadas polares como
\(P = \{(\r, \theta): 0 \leq r \leq 1, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\}\)
Deste modo o integral é dado por
\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^1 r \cdot r^2 dr d\theta = \pi [r^4/4]_0^1=\frac{\pi}{4}\)
O gabarito está errado... O resultado é de facto \(\pi /4\).
\(R = \{(x,y): -1 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq \sqrt{1-y^2} \}\)
é expressa em coordenadas polares como
\(P = \{(\r, \theta): 0 \leq r \leq 1, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\}\)
Deste modo o integral é dado por
\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^1 r \cdot r^2 dr d\theta = \pi [r^4/4]_0^1=\frac{\pi}{4}\)
O gabarito está errado... O resultado é de facto \(\pi /4\).
Re: integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares
11 nov 2016, 22:27
Sobolev Escreveu:A região de integração, dada em coordenadas cartesianas por
\(R = \{(x,y): -1 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq \sqrt{1-y^2} \}\)
é expressa em coordenadas polares como
\(P = \{(\r, \theta): 0 \leq r \leq 1, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\}\)
Deste modo o integral é dado por
\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^1 r \cdot r^2 dr d\theta = \pi [r^4/4]_0^1=\frac{\pi}{4}\)
O gabarito está errado... O resultado é de facto \(\pi /4\).
Eu não consegui visualizar como vc chegou nesses limites de ângulos, poderia me explicar
Re: integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares
14 nov 2016, 10:58
A região é constituída pelos pontos que verificam a condição:
"Quando y varia entre -1 e 1, x varia entre x=0 e \(x=\sqrt{1-y^2}\)."
Notando que \(x = \sqrt{1-y^2} \Rightarrow x^2+y^2 = {1}\), conclui que a região consiste em metade de um circulo de raio 1, concretamente na metade à direita do eixo dos yy. Ora, nesse semi-círculo, o ângulo varia entre \(-\pi/2\), quando estamos na parte negetiva do eixo dos yy, e \(\pi/2\), quando estamos na parte positiva do eixo dos yy. A distancia à origem (r) está sempre entre 0 e 1.
"Quando y varia entre -1 e 1, x varia entre x=0 e \(x=\sqrt{1-y^2}\)."
Notando que \(x = \sqrt{1-y^2} \Rightarrow x^2+y^2 = {1}\), conclui que a região consiste em metade de um circulo de raio 1, concretamente na metade à direita do eixo dos yy. Ora, nesse semi-círculo, o ângulo varia entre \(-\pi/2\), quando estamos na parte negetiva do eixo dos yy, e \(\pi/2\), quando estamos na parte positiva do eixo dos yy. A distancia à origem (r) está sempre entre 0 e 1.